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Con esto terminamos los ejercicios 1.1
Cariños
Jek's

Los números naturales aparecen en la historia como solución a una necesidad humana de cuantificar, es por esto que se les llama naturales, pues aparecen de forma natural.

Los números naturales están fundamentados en los axiaomas de Peano:

1. El 1 es un número natural.
2. Si n es un número natural, entonces el sucesor de n también es un número natural.
3. El 1 no es el sucesor de ningún número natural.
4. Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor, entonces n y m son el mismo número natural.
5. Si el 1 pertenece a un conjunto de números A, y además siempre se verifica que: dado un número natural cualquiera que esté en A, su sucesor también pertenece a A; entonces A es precisamente el conjunto de todos los números naturales. Éste es el axioma de inducción, que captura la idea de inducción matemática.

Este fundamento pone de antemano que los números naturales comienzan en 1 y no termina, pero hay quienes sostienen que el cero también es parte de los números naturales, fundamentado en la teoría de conjuntos. En este blog trabajermos con la visión de Peano de los números naturales, es decir de los números enteros (sin decimales) que comienzan en 1 y terminan en el infinito.

Los números naturales (y todos los conjuntos numéricos) están en base 10, por una cuestión muy sencilla, el contar nace con los dedos y tenemos 10 dedos... Matemáticamente esto significa que el sistema de numeración usa 10 dígitos 0,1,2,3,4,5,6,7,8 y 9 y los agrupa de 10 en 10. Esto implica que cada número natural pueda expresarse como una suma de potencias de 10.

Ejemplo

A las potencias de 10 les llamamos en orden:

Así 124 = 1 centena, 2 decenas y 4 unidades.

A esta notación se le llama notación decimal ya que lo que hacemos es agrupar de 10 en 10.

Cariños
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Solución del ejercicio 21

Solución al ejercicio 22

Solución del ejercicio 23

Solución ejercicio 24

Solución del ejercicio 25

Solución al ejercicio 26

Solución del ejercicio 27

Solución del ejercicio 28

Solución del ejercicio 29

Solución del ejercicio 30

Bueno 10 más de estos ejercicios en el siguiente post
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Cuando hablamos de un "Conjunto" nos referimos a una colección de objetos cualesquiera... un conjunto especial es un "Conjunto numérico" que es una colección específica de números.  Este nombre incluye conjuntos finitos e infinitos como por ejemplo:

Números pares, Números impares, números primos, números irracionales, números cardinales, dígitos, divisores de un número, múltiplos de un número etc.

Este post está dedicado a dar una noción básica de los conjuntos numéricos con que el hombre  ha establecido sistemas y operaciones para resolver problemas ya sean reales o imaginarios.

El conjunto numérico que aparece de la naturaleza de contar se llaman "Números Naturales (N)" estos números contienen desde el 1 al infinito : 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11... 25....1000.... 134567.... etc. En nuestro caso usamos una notación decimal proveniente de los hindúes, aunque llegó a nuestras manos desde los árabes, por eso utilizamos 10  dígitos, esta es una forma básica pues tenemos 10 dedos para contar.

Aquí siempre ha existido y seguirá existiendo la discordia de si el cero pertenece o no a los números naturales, hay autores que dicen que si (por ejemplo  Bertrand Russell y Von Neumman quienes formalizaron la construcción de los números naturales a través de conjuntos) y otros dicen que no  (ejemplo Peano creador de la formación axiomática de los números naturales). Personalmente creo que el cero no es natural, puesto que los números naturales aparecen de la necesidad de contar y no contamos desde cero.

Luego por una cuestión de extensión necesitamos un conjunto numérico que agregue el cero y es cuando aparecen los "Números Enteros (Z)" estos números incluyen al cero y a unos extraños amigos llamados números negativos. Los números negativos aparecen de la necesidad de realizar operaciones como 2 - 6 imposibles de resolver en los números naturales. Así los números enteros contemplan una linea negativa llamada "-Z" el cero "0" y una línea positiva "+Z" esto es ...-100..., -10, -9, -8, -7....,-1,0,1,....7,8,9,10..., 100.... Ambas líneas son infinitas.

Al intentar dividir números enteros nos encontramos con grandes problematicas como 2 ÷ 3 que es una división no exacta. Esto se resuelve  con el conjunto de los números "Racionales (Q)" que contiene las fracciones, números mixtos, decimales finitos e infinitos con periodo. Es decir

Con operaciones como la potenciación aparecen nuevos problemas como las raíces de números primos que son decimales infinitos no periódicos. A estos números se les llama "Números Irracionales (I)" dentro de este conjunto están todos los decimales infinitos no periódicos es decir:

El conjunto que engloba tanto los números naturales, enteros, racionales e irracionales se llama "Números Reales (R)" Hasta aquí todos estos números se encuentran en la utilidad directa y real del hombre.

Existe un conjunto aún mayor llamado "Números Complejos (C)" que además de contener a los números reales incluye unos números llamados imaginarios basados en la posibilidad de calcular la raíz cuadrada de un número negativo. Son de la forma a + bi dónde a y b son números reales e "i" representa a la raíz de menos uno.

Cariños
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Solución del ejercicio 11

Solución del ejercicio 12

Solución del ejercicio 13

solución del ejercicio 14

Solución del ejercicio 15

Solución del ejercicio 16

Solución del ejercicio 17

Solución del ejercicio 18

Solución del ejercicio 19

Solución del ejercicio 20

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En este apartado voy a resolver ejercicios del libro "Cálculo y Geometría analítica" de Swokowski de la segunda edición.

Ejercicios 1.1

Solución ejercicio 1

Solución ejercicio 2

Solución ejercicio 3

Solución ejercicio 4

solución ejercicio 5

Solución ejercicio 6

Solución ejercicio 7

solución ejercicio 8

Solución ejercicio 9

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Ramas de las Matemáticas

Una rama de laa matemáticas es una categoría o división de ella. Es decir una parte del sistema complejo que se considera dentro de la ciencia madre. Básicamente son 10, pero existen un sinnumero de pequeñas ramas inrelacionadas que cubren el espectral de la ciencia llamada Matemáticas. Algunas de estas convergen en alguna otra ciencia como la lógica, la física, biología y la informática, entre otras,  pero como ramas de la matemática sólo toman una base en estas y lo transforman en un estido estríctamente matemático aplicado a la ciencia. 
En el caso de la física, esta se considera una ciencia fuera completamente de las matemáticas aunque su estudio se base en ellas, pero dentro de las matemáticas hay estudios que hacen referencia a ella ej: lanzamientos parabólicos, caída libre entre otros. Estudiados como aplicación del cálculo, y es una pequeña... pequeña... sub rama de este. Lo mismo en el caso de las otras ciencias, aunque existe, por ejemplo, el caso de la lógica, que es una ciencia formal, donde la matemática cumple un rol a la par de ella, es decir no existe matemática sin lógica, ni lógica sin matemática, por eso una de las ramas básicas de las matemáticas es la lógica matemática.
Es necesario aclarar, antes de continuar, que no existe una pared divisora entre estas ramas, más bien, todas están interrelacionadas de mayor o menor forma. No existe un "momento" donde dejemos de hablar de aritmética para hablar de álgebra, o de lógica matemática para hablar de teoría de conjuntos etc. Por lo que no pueden estudiarse de manera totalmente independiente. Es por esto que se dice que la matemática tiene una forma piramidal, si no se tienen conocimientos básicos de aritmética es imposible comprender el álgebra, si no conoce algebra y geometría plana es imposible entender geometría analítica etc.

Como he dicho antes, se distinguen 10 ramas principales que prosigo a explicar:

1. Teoría de Conjuntos

Los Conjuntos son discriminados por muchos como una rama básica de las matemáticas. Dicen, algunos que son inservibles y poco prácticos. Personalmente discrepo completamente. Los conjuntos son la base prima de las matemáticas, utilizada de forma constante en aritmética, algebra, lógica matemática, matemática aplicada etc. No solo tiene una forma básica, quienes han estudiado estructuras algebraicas ó algebra lineal saben lo importante que es conocer de conjuntos.

El primer estudio en teoría de números hecho formalmente lo hizo Cantor (Gerg Cantor, Alemán) basado en un concepto de conjuntos intuitivo, definifo como "colección de objetos", con la particularidad de que debe estar bien definido, esto es, que se pueda saber con claridad que un elemento pertenece o no pertenece al conjunto. (esta definición tiene problemas con lo que llamamos paradojas). En el siglo XIX Frege postuló que los conjuntos se definían solo por propiedades. Actualmente la teoría de conjuntos está bien definida por el sistema ZFC (Axiomas de Zermelo-Fraenkel), aunque se conserva con orgullo la definición de Cantor.

Se distinguen en la teoría de conjuntos relaciones entre ellos "ser iguales"; "ser distintos"; "ser subconjunto", "ser complementario" etc. y operaciones como "Unión"; "Intersección"; "diferencia", etc.

Subramas principales:

• Algebra de Conjuntos
• Relaciones y Funciones
• Particiones
• Combinatoria

2. Lógica Matemática

La lógica matemática es una rama a su vez de la lógica y la matemática como ciencias distintas. Es sin duda una rama importante y básica en el estudio de las matemáticas. Es cierto que los primeros matemáticos no lo expresaban explicitamente, pero la lógica matemática ha estado tras toda demostración matemática.
Consiste en el estudio matemático de la lógica y su aplicación en las distintas areas de las maetemáticas. Por razones obvias está muy relacionada con la informática y la lógica filosófica. Estudia los sistemas formales en relación con el modo en el que codifican conceptos intuitivos de objetos matemáticos como conjunrtos, números, demostraciones, etc.
Es, la matemática de la lógica (y no al revés como algunos piensan), incluye todas las partes de la lógica que pueden ser modeladas y estudiadas matemáticamente.

Su nombre fue dado por quien dió la primera estructura axiomática al conjunto de los números naturales, Giuseppe Peano, en escencia refiere a la lógica de aristóteles, pero con una nueva notación, más abstracta tomada del álgebra. Antes que él, ya se habían hecho varios intentos de tratar las operaciones lógicas formales de una manera simbólica por parte de Leibniz y Lambert, pero esta no fue conocida.
Fue a mediados del siglo XIX que George Booble y Augustus De Morgan presentaron un sistema matemático para modelar operaciones lógicas. Así reformaron y completaron la lógica aristotélica, obtenienco una herramienta apropiada para la investigación de los fundamentos de la matemática.

Subramas principales

• teoría de modelos
• teoría de la demostración
• teoría de la recursión
• Fundamentos de las matemáticas
• Matemáticas discretas

3. Aritmética

La aritmética es la más antigua y elemental rama de la matemática, utilizada en casi todo el mundo, en tareas cotidianas como contar y en los más avanzados cálculos científicos. Estudia ciertas operaciones con los números y sus propiedades elementales.

Hay evidencias de su utilización desde la prehistoria, se han encontrado inscritos en objetos que indican clara concepción de la suma y resta con números enteros (ejemplo el hueso Ishango de Africa Central 18000 y 20000 a. C.), luego hay evidencias maravillosas entre los babilóneos (tablilla Plimpton 322), egipcios (papiro de Ahmes) quienes trabajaron incluso con fracciones.

Pero fue la aritmética india, que era mucho más simple que la griega, la que nos dio nuestra forma de representar los números, además que posía desde tiempos antiguos la utiliación del cero y una notación posicional. Fue en el siglo VII que el ovispo Severo Senbhokt hace conocido este método y lo llamaron Hesab. Fibonacci lo presentó en Europa en 1202. y en la edad media la aritmética se convierte en una de las 7 artes liberales enseñadas en las universidades.

Los modernos algoritmos de cálculo fueron posibles gracias a la introducción de los números árabes y la notación decimal posicional. Los números árabes, basados en la aritmética, fueron desarrollados por los grandes matemáticos indios Aryabhatta, Brahmagupta y Bhaskara I. Aryabhatta ideó la notación posicional, dando diferente valor a un número dependiendo del lugar ocupado, y Brahmagupta añadió el cero al sistema numérico indio. Brahmagupta desarrolló la moderna suma, resta, multiplicación y división, basadas en los números arábigos. A pesar de que ahora se considera elemental, su sencillez es la culminación de miles de años de desarrollo matemático. Por el contrario, el antiguo matemático Arquímedes dedicó todo un tratado para la elaboración de una notación con determinados números. El florecimiento de álgebra en el mundo medieval islámico y en el renacimiento europeo fue fruto de la enorme simplificación de las operaciones mediante la notación decimal posicional.

Subramas principales

• Teoría de números
• Conjuntos numéricos
• Historia de las matemáticas
• Sistemas de numeración

4. Algebra

Estudia las estructuras, relaciones y las cantidades. Y convierte en una generalidad las propiedades particulares aprendidas en la aritmética. Su estudio permite un nivel de abstracción superior e indispensable para estudios superiores y por supuesto la resolución de ecuaciones.

La palabra Algebra es de origen Árabe, proviene de un libro traducido en Toledo, España de Al-Jwarismi llamado Al-Kitab al-Jabr wa - I- Muqabala, significa compendio de cálculo por el método de reducción y balanceado, Algebra significa literalmente reducción.

A pesar de que su nombre viene del árabe, el origen del álgebra está mucho antes, hay indicios de ellas en los trabajos de los babilóneos, a diferencia de los egipcios, chinos, indios etc. que resolvían los mismos problemas pero de forma geométrica.d

Es mucho más tarde que los matemáticos árabes y musulmanes desarrollaron métodos algebraicos a un grado de mayor sofisticación, Al-Jwarismi  fue el primero en resolver ecuaciones usando métodos generales. Él resolvió el indeterminado de ecuaciones lineales, ecuaciones cuadráticas. ecuaciones indeterminadas de segundo orden y ecuaciones con múltiples variables.

Hacia mediados del siglo XVI se solucionaron algebraicamente las ecuaciones cúbicas y guárticas. Luego en el siglo XVII  el japonés Kowa Seki desarrolló la idea de un factor determinante, seguido por Leibniz diez años más tarde, con el fin de resolver sistemas de ecuaciones lineales simultáneas utilizando matrices...

El álgebra es sin duda, la base del pensamiento abstracto, su lenguaje tal como lo conocemos fue desarrollado por Vieta, aunque antes de él hubieron muchos intentos relacionados y útiles de cierto modo.

Subramas principales

• Cálculo
• Algebra lineal
• Estructuras algebraicas
• Geometría analítica

5. Geometría Euclidiana

Ok, antes que nada haré una aclaración, la rama escencial de las matemáticas es la Geometría, pero habiendo diferencias tangibles en el trabajo algebraico y el geométrico he decidido, deliveradamente, separarla en dos, esto es geometría Euclidiana , y Geometría analítica.

Ya dichoi esto, comencemos con la Geometría Euclidiana, esta es aquella basada o derivada de forma concreta de los Elementos de Euclides, es decir que trabaja las propiedades del plano y el espacio tridimencional.

Cuando hablamos de propiedades del plano, nos adentramos en lo que llamamos geometría plana estudiada por Euclides, pero que no deja fuera trabajos de otros autores como  los que hubieron desde Arquímides hasta Steiner. Se le llama Euclidiana porque los Elementos de Euclides es el mayor compilado histórico de este tema.

Su estudio es sistemático y se basa en definiciones, axiomas, postulados y teoremas que permiten una demostración de cada una de las aceveraciones que se presentan.

De cierto modo la geometría Euclidiana no comenzó con Euclides, ya que los babilóneos, egipcios, chinos, indios y griegos antes de él ya lo habían trabajado, pero sólo él lo presentó de una forma ordenada y axiomática.

Subramas principales

• Polígonos
• Geometría Plana
• Geometría del espacio
• Transformaciones isométricas y homotecias

6. Geometría analítica

La geometría analítica convierte todo saber geométrico en una ecuación algebraica, es decir permite su estudio a través de técnicas de análisis matemático y  de álgebra en un determinado sistema de coordenadas.

Sus orígenes están con la conocida obra de Descartes, donde por primera vez se habló literalmente, de geometría analítica, y la desconocida obra de Fermat, contemporáneos, quienes de forma independiente, y basado en el lenguaje algebraico desarrollado por Vieta, dan pie a lo que hoy conocemos como geometría  analítica. Es por descartes que algunos le llaman Geometría Carteciana.

Los trabajos en esta área continúan, hasta llegar a lo que hoy llamamos geometría diferencial, desarrollada por Gauss.

Subramas principales

• Geometría diferencial
• Tangentes
• Cálculo
• Geometría Analítica espacial

7. Probabilidad

La probabilidad es el estudio del azar. Mide la frecuencia con la que se obtiene un resultado al llevar a cabo un experimento aleatorio, del que se conocen los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables.

Su desarrollo es relativamente moderno, los juegos de azar muestran que ha habido interés por cuantificar las idea de la probabilidad durante milenios, pero las matemáticas exáctas para resolverlos aparecieron mucho después.

Mucho del estudio de la probabilidad viene del trabajo de Cardano en el siglo XVI, Fermat y Blaise, Christiaan huygens en el siglo XVII, Jakob bernoulli y Abraham de Moivre en ell siglo XVIII, el más destacado en ese siglo y en este tema fue Perre- Simon Laplace quien hizo el primer intento para deducir una regla para la combinacion de observaciones a partir de los principios de la teoría de las probabilidades. Representó la ley de la probabilidad de error con una curva y = φ(x), siendo x cualquier error e y su probabilidad, y expuso tres propiedades de esta curva:

1. es simétrica al eje y;
2. el eje x es una asíntota, siendo la probabilidad del error  igual a 0;
3. la superficie cerrada es 1, haciendo cierta la existencia de un error.

Dedujo una fórmula para la media de tres observaciones. También obtuvo (1781) una fórmula para la ley de facilidad de error (un término debido a Lagrange, 1774), pero una que llevaba a ecuaciones inmanejables. Daniel Bernoulli (1778) introdujo el principio del máximo producto de las probabilidades de un sistema de errores concurrentes.

Subramas principales

• lógica matemática del azar
• Experimentos aleatorios
• Juegos de Azar
• Teoría del error

8. Estadística

Es eeferente a la recolección, análisis e interpretación de datos, que busca explicar condiciones regulares en fenómenos de tipo aleatorio.

Los métodos estadístico matemáticos emergieron desde la teoría de probabilidad, la cual data desde la correspondencia ciertamente entre Pierre de Fermat y Blaise Pascal (1654). Christian Huygens (1657) da el primer tratamiento científico que se conoce a la materia. El Ars Conjectandi (póstumo, 1713) de Jakob Bernoulli y la Doctrina de Posibilidades (1718) de Abraham de Moivre estudiaron la materia como una rama de las matemáticas.En la era moderna, el trabajo de Kolmogórov ha sido un pilar en la formulación del modelo fundamental de la Teoría de Probabilidades, el cual es usado a través de la estadística.

Los fundadores de la estadística como tal son Dedekind (1860), Helmert (1872), Hermann Laurent (1873), Liagre, Didion y Karl Pearson. Augustus De Morgan y George Boole quienes mejoraron la presentación de la teoría. Adolphe Quetelet (1796-1874), fue otro importante fundador de la estadística y quien introdujo la noción del "hombre promedio" (l'homme moyen) como un medio de entender los fenómenos sociales complejos tales como tasas de criminalidad, tasas de matrimonio o tasas de suicidios.

Subramas principales

• Estadistica descriptiva
• Inferencia estadística
• Bioestadística

9. Cálculo

Consiste en un procedimiento mecánico, o algoritmo, mediante el cual podemos conocer las consecuencias que se derivan de unos datos previamente conocidos.

El término "cálculo" procede del latín calculum, piedrecita que se mete en el calzado y que produce molestia. Precisamente tales piedrecitas ensartadas en tiras constituían el ábaco romano que, junto con el suwanpanjaponés, constituyen las primeras máquinas de calcular en el sentido de contar.

Los antecedentes de procedimiento de cálculo, como algoritmo, se encuentran en los que utilizaron los geómetras griegos, Eudoxo en particular, en el sentido de llegar por aproximación de restos cada vez más pequeños, a una medida de figuras curvas; así como Diofanto precursor del álgebra.

El sistema que usamos actualmente fue introducido por Luca Pacioli en 1494, y fue creado y desarrollado para responder a la necesidad de la contabilidad en los negocios de la burguesía renacentista.

En el siglo XVII el cálculo conoció un enorme desarrollo siendo los autores más destacados Descartes, Pascal y, finalmente, Leibniz y Newton con el cálculo infinitesimal que en muchas ocasiones ha recibido simplemente, por absorción, el nombre de cálculo.

El cálculo así utilizado se convierte en un instrumento fundamental de la investigación científica por las posibilidades que ofrece para la modelización de las teorías científicas, adquiriendo especial relevancia en ello el cálculo numérico.

Subramas principales

• Logica Modal
• Aplicaciones físicas
• Optimización
• Diferenciación

10. Matemática Aplicada

Se refiere a todos aquellos métodos y herramientas matemáticas que pueden ser utilizados en el análisis o solución de problemas pertenecientes al área de las ciencias aplicadas o sociales.

Muchos métodos matemáticos han resultado efectivos en el estudio de problemas en física, química, biología, medicina, ciencias sociales, administración, ingeniería, economía, finanzas, ecología entre otras.

La definición no es absolutamente estricta, ya que, en principio, cualquier parte de las matemáticas podría ser utilizada en problemas reales; sin embargo una posible diferencia es que en matemáticas aplicadas se procura el desarrollo de las matemáticas "hacia afuera", es decir hacia el resto de las áreas. Y en menor grado "hacia dentro" o sea, hacia el desarrollo de las matemáticas mismas. Este último sería el caso de las matemáticas puras.

Subramas principales

• Bioestadística
• Matemáticas discretas
• Matemáticas financieras

NOTA: Cuando hablo de SUBRAMAS importantes no me refiero a derivados de ellas, sino a pequeñas ramas o ramas de la matemática que utilizan de forma importante los conocimientos  de esta.

Saludos

αβ_Jek's_αβ

Hola!!

Bueno ya dejé en "sobre mi" una descripción de quien soy, Jek's es un seudónimo al que me he acostumbrado mi nombre es Jessica realmente, pero preferiría mil veces que me llamaran Jek's...

Como primer post me ofrezco a resolver problemas de matemáticas, no como un hace tareas, pues como maestra de matemáticas soy muy celosa con aquellas cosas, sino como una ayuda de estudio, espero poder formar una gran colección de ejercicios resueltos y espero la gran mayoría sean propuestos por ustedes.

Puede ser de cualquier rama de las matemáticas, como me dirían mis compañeros en la Universidad, si no lo sé algo inventaré XD... como dijo Leibniz

"Mi objetivo es escribir de modo que permita al lector alcanzar el fondo de las cosas que aprende; incluso iré al origen de la invención para que quien aprende pueda entenderlo como si lo hubiera inventado el mismo" (Tomado de El curioso mundo de las Matemáticas de Davis Wells)

Claro que no pretendo ser una Leibniz, lejos estoy de siquiera alcanzar su gracia y sabiduría matemática, pero haré mi esfuerzo por explicarlo lo mejor posible.

También si alguno quiere conocer algo más de algún tema en específico de las matemáticas puede pedirlo, yo me encargaré de exponerlo... de la mejor forma que yo pueda... Se que las matemáticas no son del gusto general y que muchos "gozan" de sus dificultades y desprecios, es mi intención tratar de que eso no sea así, y que puedas encontrar un espacio clarificador de la hermosura matemática y no destructor de autoestima estudiantil.

Bueno, espero sus consultas
Cariños

αβ_Jek's_αβ